📐 Calculadora de Ecuaciones
Resuelve ecuaciones de 1er grado, ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones (2×2 y 3×3) con solución paso a paso completamente gratis. Sin registro, sin publicidad bloqueante.
📏 Ecuación Lineal (1er grado)
Tiene una sola solución. Se despeja la incógnita realizando operaciones equivalentes en ambos lados.
ax + b = cx + d → x = (d−b)/(a−c)
📈 Ecuación Cuadrática (2º grado)
Puede tener 2 soluciones, 1 o ninguna (reales). Se resuelve con la fórmula cuadrática usando el discriminante Δ.
x = (−b ± √Δ) / 2a | Δ = b²−4ac
🔀 Sistema 2×2
Dos ecuaciones con dos incógnitas. Se puede resolver por sustitución, igualación o reducción (suma/resta).
a₁x+b₁y=c₁ / a₂x+b₂y=c₂
🔁 Sistema 3×3
Tres ecuaciones con tres incógnitas. Se resuelve por eliminación gaussiana, reduciendo a sistema 2×2 y luego a ecuación lineal.
Método: Eliminación Gaussiana
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o varias incógnitas (variables como x, y, z). Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o valores de esas incógnitas que hacen verdadera la igualdad.
Tipos de ecuaciones
- Primer grado: la incógnita aparece con exponente 1. Ej: 3x + 2 = 11. Siempre tiene exactamente una solución (si a ≠ 0).
- Segundo grado (cuadrática): la incógnita aparece elevada al cuadrado. Ej: x² − 5x + 6 = 0. Puede tener 0, 1 o 2 soluciones reales.
- Sistema de ecuaciones: conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente.
¿Qué es el discriminante (Δ)?
El discriminante de una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 es: Δ = b² − 4ac. Determina el número de soluciones reales:
- Δ > 0: dos soluciones reales distintas (x₁ y x₂)
- Δ = 0: una solución doble (x₁ = x₂ = −b/2a)
- Δ < 0: no hay soluciones reales (solo complejas)
Las 3 formas de una ecuación cuadrática
- Forma estándar: ax² + bx + c = 0
- Forma canónica: a(x − h)² + k = 0, donde h = −b/2a, k = c − b²/4a
- Forma factorizada: a(x − x₁)(x − x₂) = 0 (cuando existen raíces reales)
Métodos para sistemas de ecuaciones 2×2
- Sustitución: despejas una variable en una ecuación y la sustituyes en la otra.
- Igualación: despejas la misma variable en ambas ecuaciones e igualas las expresiones resultantes.
- Reducción: multiplicas las ecuaciones por factores adecuados y las sumas o restas para eliminar una variable.
📝 Ejercicios resueltos
📏 Ecuación lineal: 3x − 4 = 2x + 7
Pasamos 2x al lado izquierdo: 3x − 2x = 7 + 4 → x = 11
✅ x = 11
📈 Ecuación cuadrática: x² − 5x + 6 = 0
Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1 → √Δ = 1
x₁ = (5 + 1)/2 = 3 | x₂ = (5 − 1)/2 = 2
✅ x₁ = 3, x₂ = 2
🔀 Sistema 2×2: 2x + y = 7 | x − y = 2
Sustitución: de la 2ª, y = x − 2. Sustituimos en la 1ª: 2x + (x−2) = 7 → 3x = 9 → x = 3 → y = 1
✅ x = 3, y = 1
🔁 Sistema 3×3: x+y+z=6 | 2x+y−z=3 | x−y+2z=5
Eliminación gaussiana: E2−2·E1 → −y−3z=−9. E3−E1 → −2y+z=−1. De ahí: y+3z=9, −2y+z=−1 → y=2+... → z=3, y=1, x=2
✅ x = 2, y = 1, z = 3
❓ Preguntas Frecuentes
¿Qué diferencia hay entre una ecuación de 1er y 2º grado?
La diferencia es el grado de la incógnita. En las de 1er grado, x aparece solo con exponente 1 (ej: 3x+2=11), y siempre hay exactamente una solución. En las de 2º grado, x aparece elevada al cuadrado (ej: x²−5x+6=0), y puede haber 0, 1 o 2 soluciones reales dependiendo del discriminante.
¿Cómo sé si una ecuación cuadrática tiene solución?
Calculando el discriminante Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 hay dos soluciones reales diferentes. Si Δ = 0 hay exactamente una solución (raíz doble). Si Δ < 0 no hay soluciones reales (sí las hay complejas/imaginarias).
¿Cuál es el mejor método para resolver un sistema 2×2?
Depende de la ecuación. La reducción es la más rápida cuando los coeficientes de una variable se pueden cancelar fácilmente. La sustitución es más intuitiva cuando una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1. La igualación es útil cuando ambas ecuaciones expresan la misma variable de forma similar.
¿Puede un sistema de ecuaciones no tener solución?
Sí. Un sistema es incompatible (sin solución) cuando las ecuaciones representan rectas paralelas que nunca se cruzan. Es compatible indeterminado (infinitas soluciones) cuando representan la misma recta. Nuestra calculadora detecta ambos casos y lo indica.
¿Qué es la fórmula general o cuadrática?
Es la fórmula universal para resolver cualquier ecuación de segundo grado: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Funciona siempre que a ≠ 0 y se llama "general" porque sirve para cualquier ecuación cuadrática, incluso cuando no se puede factorizar fácilmente.
¿Qué es la eliminación gaussiana para sistemas 3×3?
Es un método sistemático de reducción: se combinan las ecuaciones para eliminar variables una a una, transformando el sistema en uno triangular escalonado. Luego se resuelve por sustitución inversa: primero se halla z, luego y y finalmente x. Es el método más eficiente para sistemas de 3 o más incógnitas.